Modèle binomial de valorisation d'options
Le modèle binomial valorise une option en construisant un arbre des prix possibles du sous-jacent sur des pas discrets, puis en remontant depuis l'échéance en actualisant à chaque nœud une espérance risque-neutre. Comme chaque nœud peut comparer la détention et l'exercice, il valorise les options de style américain, ce que la formule analytique de Black-Scholes ne sait pas faire.
Senzoukria · Glossaire · Mis à jour en septembre 2026
En bref
- Facteurs de hausse et de baisse (CRR)
- u = e^(σ√Δt), d = 1/u
- Probabilité risque-neutre
- p = (e^((r−q)Δt) − d)/(u − d)
- Usage principal
- Exercice américain, dividendes discrets
Comment fonctionne l'arbre
On découpe la vie de l'option en n pas de longueur Δt. Dans la version de Cox, Ross et Rubinstein, le prix monte de u = e^(σ√Δt) ou baisse de d = 1/u à chaque pas. À l'échéance, le payoff de l'option est connu sur chaque nœud terminal. En remontant, la valeur de chaque nœud est la moyenne risque-neutre actualisée de ses deux enfants, e^(−rΔt)·[p·V_up + (1 − p)·V_down]. Pour une option américaine, la valeur du nœud est le maximum entre cette valeur de continuation et la valeur d'exercice immédiat.
Exemple chiffré : deux pas
Spot 100, put de strike 100, six mois, σ = 30 %, r = 5 %, deux pas de trois mois. Alors u = 1,1618, d = 0,8607 et p = 0,5043. Les prix terminaux sont 134,99, 100 et 74,08, ce qui donne des payoffs de put de 0, 0 et 25,92. Un pas en arrière, le nœud bas à 86,07 a une valeur de continuation de 12,69 mais une valeur d'exercice immédiat de 13,93 : un porteur américain y exerce donc. En remontant, on obtient 6,82 pour le put américain contre 6,21 pour l'européen sur cet arbre grossier.
| Pas | Put américain | Put européen |
|---|---|---|
| 2 | 6,82 | 6,21 |
| 500 | 7,39 | 7,16 |
| Black-Scholes (européennes) | — | 7,17 |
Forces et limites
- Il traite l'exercice anticipé, les dividendes discrets et certaines caractéristiques de trajectoire que les formes analytiques ne savent pas traiter.
- Il converge vers Black-Scholes pour les options européennes quand le nombre de pas augmente, avec une petite oscillation d'un nombre de pas au suivant.
- Les grecques se lisent sur les nœuds voisins, ce qui rend le gamma bruité sur les arbres grossiers.
- Il suppose toujours une volatilité constante le long de l'arbre à moins d'être étendu ; il n'explique pas le smile à lui seul.
Pertinence pour les traders d'indices et dans Senzoukria
Les options SPX sont européennes : la forme analytique s'applique donc. Les options SPY et QQQ sont américaines, et un arbre ou une méthode équivalente capte leur prime d'exercice anticipé. Pour les contrats courts proches de la monnaie qui dominent l'exposition gamma, l'écart entre gamma européen et gamma américain est en général faible. Senzoukria ne fait pas tourner de modèle binomial : ses grecques calculées localement emploient la forme analytique de Black-Scholes, et les grecques de fournisseur viennent du modèle propre au fournisseur, que le panneau Hypothèses de calcul nomme par fournisseur plutôt que de le deviner.
Voir aussi
Dans la même rubrique
- Black-76
- Footprint heatmap
- MNQ
- Modèle de graphique
- Milieu du range
- Modèle de Markov caché
- Migration du POC
- Modes profil
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Questions fréquentes
- Quand l'exercice anticipé d'une option américaine vaut-il quelque chose ?
- Pour un call sur un sous-jacent sans dividende, pratiquement jamais, car vendre le call conserve sa valeur temps. Il peut être optimal juste avant une date de détachement pour des calls très dans la monnaie, et pour des puts très dans la monnaie quand l'intérêt gagné sur le strike dépasse la valeur temps restante.
- Combien de pas suffisent ?
- Cela dépend de la précision exigée et de la maturité. Les prix se stabilisent souvent au centime en quelques centaines de pas pour des options mensuelles ; les grecques demandent plus de soin. Moyenner les résultats de deux nombres de pas consécutifs réduit l'oscillation.