Modèle de Black-Scholes
Le modèle de Black-Scholes valorise les options européennes en supposant que le sous-jacent suit une marche aléatoire lognormale à volatilité et taux d'intérêt constants, et que l'option peut être répliquée par une couverture en delta continue. Son prix analytique et ses grecques restent la langue commune des marchés d'options, même si les marchés réels violent plusieurs de ses hypothèses.
Senzoukria · Glossaire · Mis à jour en septembre 2026
En bref
- Prix du call
- C = S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)
- Prix du put
- P = K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)
- Style d'exercice
- Européen (exercice à l'échéance seulement)
La formule
Avec un spot S, un strike K, un temps jusqu'à l'échéance τ en années, un taux sans risque r, un rendement de dividende continu q et une volatilité σ, la valeur du call est S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2) et celle du put K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1), où d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ), d2 = d1 − σ√τ et N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Chaque grecque standard est une dérivée de ces expressions.
Exemple : spot 100, strike 100, 30 jours, σ = 20 %, r = q = 0. Alors d1 = 0,0287, d2 = −0,0287, et le call comme le put valent 2,29. Avec un taux de 4 %, le call vaut plus que le put, comme l'exige la parité put-call.
Les hypothèses et là où les marchés s'en écartent
| Hypothèse | Ce que montrent les marchés |
|---|---|
| Volatilité constante sur les strikes et les échéances | La volatilité implicite varie par strike (smile, skew) et par échéance (structure par terme) |
| Prix lognormaux continus, sans saut | Les rendements d'indices ont des queues épaisses et des gaps occasionnels, surtout à l'ouverture et sur des nouvelles |
| Couverture continue et sans coût | La couverture est discrète et paie des spreads et des frais |
| Taux et rendement de dividende connus et constants | Les deux changent et doivent être estimés pour chaque échéance |
| Exercice européen | Beaucoup d'options sur actions et sur ETF, et certaines options sur futures, sont de style américain |
Pourquoi il reste utilisé
Les praticiens emploient Black-Scholes comme un outil de traduction plutôt que comme une croyance sur les marchés. Coter une option par la volatilité qui fait rendre son prix à la formule, la volatilité implicite, permet de comparer sur une seule échelle des contrats de strikes et de maturités différents. Le smile n'est alors que la trace de l'écart du marché à l'hypothèse de volatilité constante du modèle. Les grecques calculées par la formule à la volatilité implicite propre à chaque strike sont l'entrée standard de la couverture et des agrégats d'exposition comme l'exposition gamma.
Dans Senzoukria
Le module GEX utilise les grecques publiées par le fournisseur d'options quand il y en a, et nomme le fournisseur comme origine du modèle, puisque les fournisseurs ne publient pas le leur. Quand l'application calcule elle-même les grecques, elle emploie Black-Scholes et libelle le modèle Black-Scholes (européennes) dans le panneau Hypothèses de calcul : sur le chemin Databento elle résout la volatilité implicite depuis le milieu de la cotation et en dérive les grecques, et sur le chemin ThetaData elle calcule le gamma depuis la volatilité implicite du fournisseur. Le gamma de Black-Scholes remet aussi les expositions à l'échelle dans le Profil de gamma par prix, et le delta de Black-Scholes localise les points 25 delta quand l'application calcule elle-même le skew. Pour des options sur ETF de style américain, c'est une approximation européenne.
Voir aussi
- d1 et d2 dans Black-Scholes
- Calcul de la volatilité implicite
- Modèle de Black-76
- Grecques des options
- Hypothèses du GEX
Dans la même rubrique
- Modèle binomial
- Style d'exercice
- Modèle de graphique
- Modèle de Markov caché
- Modes profil
- Footprint heatmap
- Modification d'ordre
- MNQ
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Questions fréquentes
- Black-Scholes est-il faux à cause du smile de volatilité ?
- Il est incomplet plutôt que faux. Le smile montre qu'aucune volatilité unique ne valorise tous les strikes : les marchés emploient donc la formule avec une volatilité implicite différente pour chaque strike et chaque échéance. Le modèle reste une correspondance exacte entre prix et volatilité implicite pour les options européennes.
- Black-Scholes peut-il valoriser des options SPY ?
- Approximativement. Les options SPY sont de style américain et SPY verse des dividendes : l'exercice anticipé peut donc avoir de la valeur, notamment pour les calls très dans la monnaie avant une date de détachement et pour les puts très dans la monnaie. Les modèles binomiaux ou d'autres modèles américains traitent ce cas ; l'écart est faible pour la plupart des contrats courts proches de la monnaie.