d1 et d2 dans Black-Scholes
d1 et d2 sont les deux distances normalisées entre le spot et le strike qui apparaissent dans la formule de Black-Scholes. N(d2) est la probabilité risque-neutre, selon le modèle, qu'un call finisse dans la monnaie, et N(d1), ajusté des dividendes, est le delta du call.
Senzoukria · Glossaire · Mis à jour en septembre 2026
En bref
- d1
- [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ] / (σ√τ)
- d2
- d1 − σ√τ
- Lecture
- N(d2) : probabilité risque-neutre de finir dans la monnaie (call) ; e^(−qτ)·N(d1) : delta du call
Définitions
Les deux quantités mesurent à quelle distance le strike se tient du prix forward, en unités d'écart-type sur la vie de l'option. Le numérateur de d2, ln(S/K) + (r − q − σ²/2)·τ, est la distance logarithmique attendue entre le prix terminal et le strike sous la mesure risque-neutre du modèle ; la division par σ√τ la normalise. d1 est d2 décalé vers le haut de σ√τ. Ce décalage vient de la pondération des issues par le prix terminal lui-même, et c'est pourquoi N(d1) se rapporte au delta plutôt qu'à une probabilité d'exercice.
Exemple chiffré
Spot 100, strike 105, 30 jours (τ = 0,0822), σ = 20 %, r = q = 0. Alors ln(100/105) = −0,0488 et σ√τ = 0,0573. d1 = (−0,0488 + 0,02 × 0,0822)/0,0573 = −0,822 et d2 = −0,822 − 0,057 = −0,880. N(d1) = 0,205, qui est le delta du call, et N(d2) = 0,190, la probabilité selon le modèle que le call finisse au-dessus de 105. Le call vaut 100 × 0,205 − 105 × 0,190 = 0,64.
| Quantité | Valeur | Signification |
|---|---|---|
| d1 | −0,822 | Distance normalisée, mesure pondérée par le prix |
| d2 | −0,880 | Distance normalisée au strike |
| N(d1) | 0,205 | Delta du call (q = 0) |
| N(d2) | 0,190 | Probabilité risque-neutre de finir dans la monnaie |
Limites de la lecture en probabilité
- N(d2) est une probabilité risque-neutre calculée avec la volatilité implicite de ce strike. Ce n'est pas une prévision de la probabilité réelle, qui exigerait une vue sur le rendement attendu et sur la vraie distribution.
- Le delta est souvent cité comme une probabilité approchée de finir dans la monnaie ; l'exemple montre que les deux diffèrent (0,205 contre 0,190), d'autant plus sur les longues maturités et à forte volatilité.
- En présence d'un smile, la probabilité impliquée par l'ensemble des prix inclut une correction pour la variation de la volatilité implicite avec le strike ; prendre le N(d2) d'un seul strike l'ignore.
Où d1 et d2 apparaissent ailleurs
Toutes les grecques de Black-Scholes s'écrivent avec d1 et d2 : le gamma et le vega par φ(d1), le vanna par d2, le charm par d2/(2τ), le vomma par le produit d1·d2. Le module GEX de Senzoukria utilise directement d2 lorsqu'il dérive le vanna et le charm du gamma, du spot, du strike, de la volatilité implicite et du temps restant de chaque jambe, et utilise d1 dans le delta et le gamma de Black-Scholes qu'il calcule localement pour le profil de gamma et le skew 25 delta.
Voir aussi
Dans la même rubrique
- Databento
- Cycle de cotation
- Date de transaction
- Critère de Kelly
- Degrés de liberté
- Covered call
- Delta
- Couverture
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Questions fréquentes
- Pourquoi N(d1) n'est-il pas la probabilité d'exercice ?
- Parce que d1 comporte un σ√τ supplémentaire qui vient de la mesure des issues en unités du sous-jacent plutôt qu'en liquidités. N(d1) est la probabilité d'exercice sous cette mesure adossée à l'actif, ce qui en fait le ratio de couverture du call ; la probabilité d'exercice sous la mesure monétaire est N(d2).
- Que m'indique un d2 négatif ?
- Que le strike se tient au-dessus de la médiane risque-neutre des issues du modèle pour un call : celui-ci a donc plus de chances que l'inverse d'expirer sans valeur selon le modèle. Pour une option à la monnaie, d2 est légèrement négatif à cause du terme −σ²/2.