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De un vistazo
- Factores de subida y bajada (CRR)
- u = e^(σ√Δt), d = 1/u
- Probabilidad neutral al riesgo
- p = (e^((r−q)Δt) − d)/(u − d)
- Uso principal
- Ejercicio americano, dividendos discretos
Cómo funciona el árbol
Divide la vida de la opción en n pasos de duración Δt. En la versión de Cox-Ross-Rubinstein, el precio sube por u = e^(σ√Δt) o baja por d = 1/u en cada paso. En el vencimiento, el pago de la opción se conoce en todos los nodos terminales. Yendo hacia atrás, el valor de cada nodo es la media neutral al riesgo descontada de sus dos hijos, e^(−rΔt)·[p·V_sube + (1 − p)·V_baja]. Para una opción americana, el valor del nodo es el mayor entre ese valor de continuación y el valor de ejercicio inmediato.
Ejemplo resuelto: dos pasos
Spot 100, put de strike 100, seis meses, σ = 30 %, r = 5 %, dos pasos de tres meses. Entonces u = 1,1618, d = 0,8607 y p = 0,5043. Los precios terminales son 134,99, 100 y 74,08, lo que da pagos de la put de 0, 0 y 25,92. Un paso atrás, el nodo bajo en 86,07 tiene un valor de continuación de 12,69 pero un valor de ejercicio inmediato de 13,93, así que un tenedor americano ejerce allí. Al retroceder se obtiene 6,82 para la put americana frente a 6,21 para la europea en este árbol tan grueso.
| Pasos | Put americana | Put europea |
|---|---|---|
| 2 | 6,82 | 6,21 |
| 500 | 7,39 | 7,16 |
| Black-Scholes (europea) | — | 7,17 |
Fortalezas y límites
- Gestiona el ejercicio anticipado, los dividendos discretos y algunas características de trayectoria que las fórmulas cerradas no cubren.
- Converge a Black-Scholes para las opciones europeas a medida que crecen los pasos, con una pequeña oscilación de un número de pasos al siguiente.
- Las griegas se leen de los nodos vecinos, lo que hace ruidoso el gamma en árboles gruesos.
- Sigue suponiendo una sola volatilidad constante a lo largo del árbol salvo que se extienda; por sí mismo no explica la sonrisa.
Relevancia para índices y para Senzoukria
Las opciones SPX son europeas, así que la fórmula cerrada se aplica; las de SPY y QQQ son americanas, y un árbol o un método equivalente captura su prima de ejercicio anticipado. Para los contratos cercanos al dinero y de corto plazo que dominan la exposición gamma, la diferencia entre el gamma europeo y el americano suele ser pequeña. Senzoukria no ejecuta un modelo binomial: sus griegas calculadas en local usan Black-Scholes en forma cerrada, y las griegas del proveedor vienen del modelo propio del proveedor, que el panel de supuestos de cálculo nombra por proveedor en lugar de adivinarlo.
Relacionado
En la misma sección
- Black-76
- MNQ
- Mínimo del área de valor
- Modelo oculto de Markov
- Migración del valor
- Modificación de órdenes
- Migración del POC
- Footprint en mapa de calor
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Preguntas frecuentes
- ¿Cuándo vale algo ejercer anticipadamente una opción americana?
- En una call sobre un subyacente que no paga dividendos, prácticamente nunca, porque vender la call conserva su valor temporal. Puede ser óptimo justo antes de una fecha ex-dividendo para calls muy dentro del dinero, y para puts muy dentro del dinero cuando el interés ganado sobre el strike supera el valor temporal restante.
- ¿Cuántos pasos son suficientes?
- Depende de la precisión necesaria y del vencimiento. Los precios suelen estabilizarse al céntimo con unos cientos de pasos para opciones mensuales; las griegas requieren más cuidado. Promediar los resultados de dos números de pasos consecutivos reduce la oscilación.