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In sintesi
- Fattori di salita e discesa (CRR)
- u = e^(σ√Δt), d = 1/u
- Probabilità risk-neutral
- p = (e^((r−q)Δt) − d)/(u − d)
- Uso principale
- Esercizio americano, dividendi discreti
Come funziona l'albero
Dividi la vita dell'opzione in n passi di durata Δt. Nella versione di Cox-Ross-Rubinstein il prezzo sale di u = e^(σ√Δt) o scende di d = 1/u a ogni passo. Alla scadenza il payoff dell'opzione è noto in ogni nodo terminale. Andando a ritroso, il valore di ogni nodo è la media risk-neutral scontata dei suoi due figli, e^(−rΔt)·[p·V_su + (1 − p)·V_giù]. Per un'opzione americana il valore del nodo è il maggiore fra quel valore di continuazione e il valore di esercizio immediato.
Esempio svolto: due passi
Spot 100, put con strike 100, sei mesi, σ = 30 %, r = 5 %, due passi di tre mesi. Allora u = 1,1618, d = 0,8607 e p = 0,5043. I prezzi terminali sono 134,99, 100 e 74,08, che danno payoff della put di 0, 0 e 25,92. Un passo indietro, il nodo in discesa a 86,07 ha un valore di continuazione di 12,69 ma un valore di esercizio immediato di 13,93, così un detentore americano lì esercita. Tornando indietro si ottiene 6,82 per la put americana contro 6,21 per quella europea su questo albero grossolano.
| Passi | Put americana | Put europea |
|---|---|---|
| 2 | 6,82 | 6,21 |
| 500 | 7,39 | 7,16 |
| Black-Scholes (europea) | — | 7,17 |
Punti di forza e limiti
- Gestisce l'esercizio anticipato, i dividendi discreti e alcune caratteristiche di percorso che le formule chiuse non trattano.
- Converge a Black-Scholes per le opzioni europee al crescere dei passi, con una piccola oscillazione da un numero di passi al successivo.
- Le greche si leggono dai nodi vicini, il che rende la gamma rumorosa su alberi grossolani.
- Suppone comunque una sola volatilità costante lungo l'albero se non viene estesa; da solo non spiega lo smile.
Rilevanza per chi opera sugli indici e Senzoukria
Le opzioni SPX sono europee, così si applica la formula chiusa; quelle su SPY e QQQ sono americane, e un albero o un metodo equivalente cattura il loro premio di esercizio anticipato. Per i contratti vicini al denaro e di breve scadenza che dominano l'esposizione gamma, la differenza fra gamma europea e americana è di solito piccola. Senzoukria non esegue un modello binomiale: le sue greche calcolate localmente usano Black-Scholes in forma chiusa, e le greche del fornitore vengono dal modello del fornitore, che il pannello Calculation assumptions nomina per fornitore invece di indovinarlo.
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Domande frequenti
- Quando l'esercizio anticipato di un'opzione americana vale qualcosa?
- Per una call su un sottostante che non paga dividendi, praticamente mai, perché vendere la call conserva il suo valore temporale. Può essere ottimale appena prima di una data di stacco per le call molto dentro il denaro, e per le put molto dentro il denaro quando gli interessi guadagnati sullo strike superano il valore temporale residuo.
- Quanti passi bastano?
- Dipende dalla precisione richiesta e dalla scadenza. I prezzi si stabilizzano spesso al centesimo entro qualche centinaio di passi per le opzioni mensili; le greche richiedono più attenzione. Mediare i risultati di due conteggi di passi consecutivi riduce l'oscillazione.