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In sintesi
- Prezzo della call
- C = e^(−rτ)·[F·N(d1) − K·N(d2)]
- Prezzo della put
- P = e^(−rτ)·[K·N(−d2) − F·N(−d1)]
- d1
- [ln(F/K) + σ²τ/2] / (σ√τ), d2 = d1 − σ√τ
Da Black-Scholes a Black-76
Un prezzo futures incorpora già il costo di mantenimento del sottostante: finanziamento meno dividendi fino alla scadenza del futures. Il modello di Fischer Black del 1976 prende il prezzo futures F come input e lo tratta come privo di drift sotto la misura di valutazione, così i termini di tasso e di dividendo scompaiono da d1. Il payoff è scontato al tasso privo di rischio, ed è per questo che e^(−rτ) moltiplica tutta la parentesi. Black-Scholes con dividendi e Black-76 danno lo stesso prezzo quando F è uguale a S·e^((r−q)τ) e l'opzione scade con il futures.
Esempio svolto
Un'opzione at the money a una settimana su un futures che negozia a 5.000, strike 5.000, volatilità implicita del 18 %, tasso del 4 %: d1 = 0,0125, d2 = −0,0125, e la call vale 49,7 punti indice. Per un'opzione E-mini S&P 500, il cui sottostante è un contratto futures a 50 dollari per punto indice, sono circa 2.484 dollari. La call 5.050 della stessa scadenza vale 28,9 punti.
Cosa cambia per gli operatori
- I delta sono espressi in contratti futures, non in azioni o unità di indice, così la copertura è diretta: un delta di 0,5 su un'opzione è mezzo futures.
- Rho è solo un effetto di sconto, −τ per il valore dell'opzione, per call e put allo stesso modo.
- La parità put-call diventa C − P = e^(−rτ)·(F − K), che permette di ricavare il prezzo del futures dalle opzioni.
- Le opzioni su futures di stile americano richiedono un reticolo o un metodo di approssimazione; Black-76 valuta il caso europeo.
In Senzoukria
I moduli GEX e Option Flow di Senzoukria leggono catene di opzioni listate statunitensi attraverso il fornitore configurato, come SPY o QQQ, non le opzioni CME su futures, così Black-76 non è il modello dietro le loro greche. I livelli calcolati su una catena di ETF possono essere disegnati su un grafico ES o NQ, dove l'app li converte con un rapporto fra l'ultima chiusura del grafico futures e lo spot dell'ETF, e li etichetta con il sottostante di origine, così un livello convertito non è mai presentato come un livello nativo di opzioni su futures.
Correlati
Nella stessa sezione
- Rho
- Modello binomiale
- Modello di grafico
- Modalità profilo
- Modello di Markov nascosto
- Heatmap footprint
- Modifica degli ordini
- MNQ
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Domande frequenti
- Perché in Black-76 non c'è un termine di dividendo?
- Perché il prezzo futures riflette già dividendi attesi e finanziamento fino alla scadenza del futures. Il modello ha bisogno soltanto della distribuzione del prezzo futures, che suppone lognormale con drift zero sotto la misura di valutazione.
- Per le opzioni su ES devo usare Black-Scholes o Black-76?
- Black-76, con il prezzo del contratto futures sottostante come input. Usare l'indice cash con Black-Scholes richiede le ipotesi giuste su tasso e dividendi per riprodurre il prezzo futures; usare direttamente il prezzo futures evita quelle stime.