Rho (sensibilità ai tassi di interesse)

Perché i tassi muovono i prezzi delle opzioni

In un modello di non arbitraggio il detentore di una call rinvia il pagamento dello strike fino all'esercizio, e il detentore di una put rinvia il suo incasso. Un tasso più alto alza il prezzo forward del sottostante e abbassa il valore attuale dello strike, cosa che aumenta i valori delle call e diminuisce quelli delle put. Il rho misura quell'effetto: la variazione di valore per una variazione di un punto del tasso privo di rischio composto in continuo, tenendo fissi spot, volatilità e tempo.

Esempio svolto

Una call al denaro a sei mesi con spot e strike 100, volatilità implicita del 20 % e un tasso del 4 % vale circa 6,63 in Black-Scholes. Il suo rho è 0,259 per punto di tasso, quindi un tasso del 5 % invece del 4 % aggiunge circa 0,26. La put corrispondente ha un rho di −0,231. La stessa call con 30 giorni rimasti ha un rho di soli 0,042: su un mese, un punto pieno di tasso cambia il prezzo di circa quattro centesimi su un sottostante a 100, molto meno di quanto farebbe un solo punto di volatilità.

Le opzioni su futures si comportano diversamente

Per un'opzione su un contratto futures prezzata con Black-76, il prezzo del future è il dato in ingresso e il tasso sconta soltanto il premio. Il rho è allora pari a −τ per il valore dell'opzione sia per le call sia per le put. Per un'opzione E-mini al denaro a una settimana che vale circa 49,7 punti indice, sono grosso modo −0,0095 punti per punto di tasso, un importo trascurabile. Il tasso conta comunque a chi negozia futures attraverso la base fra il future e l'indice cash, che è dove una variazione del costo di finanziamento si manifesta.

Dove il rho conta e dove viene ipotizzato

• Le opzioni a lunga scadenza (LEAPS) e quelle profondamente dentro il denaro portano il rho più grande.
• La parità put-call, i forward impliciti e i solutori di volatilità implicita hanno tutti bisogno di un tasso in ingresso; un tasso sbagliato sposta la volatilità implicita di call e put in direzioni opposte.
• Senzoukria non mostra il rho. I suoi calcoli di greche, come le esposizioni di vanna e charm e le greche di Black-Scholes calcolate localmente sulla via Databento, usano costanti di tasso ipotizzate invece di un tasso di mercato, e la fotografia di vanna e charm registra il tasso e il rendimento da dividendi ipotizzati così da non poter essere confusi con misure.