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In sintesi
- Prezzo della call
- C = S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)
- Prezzo della put
- P = K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)
- Stile di esercizio
- Europeo (esercizio solo alla scadenza)
La formula
Con spot S, strike K, tempo alla scadenza τ in anni, tasso privo di rischio r, rendimento da dividendo continuo q e volatilità σ, il valore della call è S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2) e quello della put K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1), dove d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ), d2 = d1 − σ√τ e N è la funzione di distribuzione normale standard. Ogni greca standard è una derivata di queste espressioni.
Esempio: spot 100, strike 100, 30 giorni, σ = 20 %, r = q = 0. Allora d1 = 0,0287, d2 = −0,0287, e sia la call sia la put valgono 2,29. Con un tasso del 4 % la call vale più della put, come richiede la parità put-call.
Ipotesi e dove i mercati se ne discostano
| Ipotesi | Cosa mostrano i mercati |
|---|---|
| Volatilità costante fra strike e scadenze | La volatilità implicita varia per strike (smile, skew) e per scadenza (struttura a termine) |
| Prezzi lognormali continui, senza salti | I rendimenti degli indici hanno code grasse e gap occasionali, soprattutto in apertura e sulle notizie |
| Copertura continua e senza costi | La copertura è discreta e paga spread e commissioni |
| Tasso e rendimento da dividendo noti e costanti | Entrambi cambiano e vanno stimati per ogni scadenza |
| Esercizio europeo | Molte opzioni su azioni ed ETF, e alcune opzioni su futures, sono di stile americano |
Perché si usa ancora
Gli operatori usano Black-Scholes come strumento di traduzione più che come una convinzione sui mercati. Quotare un'opzione con la volatilità che fa restituire alla formula il suo prezzo, la volatilità implicita, permette di confrontare su una sola scala contratti con strike e scadenze diverse. Lo smile è allora semplicemente la registrazione di quanto il mercato si discosti dall'ipotesi di volatilità costante del modello. Le greche calcolate dalla formula alla volatilità implicita propria di ciascuno strike sono l'input standard per la copertura e per gli aggregati di esposizione come l'esposizione gamma.
In Senzoukria
Il modulo GEX usa le greche pubblicate dal fornitore di opzioni quando ce ne sono, e nomina il fornitore come origine del modello perché i fornitori non pubblicano il loro modello. Quando l'app calcola le greche da sé usa Black-Scholes ed etichetta il modello come Black-Scholes (European) nel pannello Calculation assumptions: sulla via di Databento ricava la volatilità implicita dal punto medio della quotazione e ne deriva le greche, e su quella di ThetaData calcola la gamma dalla volatilità implicita del fornitore. La gamma di Black-Scholes riscala anche le esposizioni nel Gamma profile by price, e il delta di Black-Scholes individua i punti a 25 delta quando l'app calcola da sé lo skew. Per le opzioni su ETF di stile americano questa è un'approssimazione europea.
Correlati
Nella stessa sezione
- Modello binomiale
- Stile di esercizio
- Modello di grafico
- Modello di Markov nascosto
- Modifica degli ordini
- Modalità profilo
- Moltiplicatore del contratto
- Heatmap footprint
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Domande frequenti
- Black-Scholes è sbagliato a causa dello smile di volatilità?
- È incompleto più che sbagliato. Lo smile mostra che nessuna volatilità unica valuta tutti gli strike, così i mercati usano la formula con una volatilità implicita diversa per ogni strike e scadenza. Il modello resta una mappatura esatta fra prezzo e volatilità implicita per le opzioni europee.
- Black-Scholes può valutare le opzioni su SPY?
- In modo approssimato. Le opzioni su SPY sono di stile americano e SPY paga dividendi, così l'esercizio anticipato può avere valore, in particolare per le call molto dentro il denaro prima di una data di stacco e per le put molto dentro il denaro. Il modello binomiale o altri modelli americani lo trattano; la differenza è piccola per la maggior parte dei contratti vicini al denaro e di breve scadenza.