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In sintesi
- d1
- [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ] / (σ√τ)
- d2
- d1 − σ√τ
- Lettura
- N(d2): probabilità risk-neutral di finire dentro il denaro (call); e^(−qτ)·N(d1): delta della call
Definizioni
Entrambe le quantità misurano quanto lo strike sia distante dal prezzo forward in unità di deviazione standard sulla vita dell'opzione. Il numeratore di d2, ln(S/K) + (r − q − σ²/2)·τ, è la distanza logaritmica attesa fra il prezzo terminale e lo strike sotto la misura risk-neutral del modello; dividere per σ√τ la standardizza. d1 è d2 spostato in alto di σ√τ. Lo spostamento viene dal pesare gli esiti con il prezzo terminale stesso, ed è per questo che N(d1) si lega al delta invece che a una probabilità di esercizio.
Esempio svolto
Spot 100, strike 105, 30 giorni (τ = 0,0822), σ = 20 %, r = q = 0. Allora ln(100/105) = −0,0488 e σ√τ = 0,0573. d1 = (−0,0488 + 0,02 × 0,0822)/0,0573 = −0,822 e d2 = −0,822 − 0,057 = −0,880. N(d1) = 0,205, che è il delta della call, e N(d2) = 0,190, la probabilità del modello che la call finisca sopra 105. La call vale 100 × 0,205 − 105 × 0,190 = 0,64.
| Quantità | Valore | Significato |
|---|---|---|
| d1 | −0,822 | Distanza standardizzata, misura pesata dal prezzo |
| d2 | −0,880 | Distanza standardizzata dallo strike |
| N(d1) | 0,205 | Delta della call (q = 0) |
| N(d2) | 0,190 | Probabilità risk-neutral di finire dentro il denaro |
Limiti della lettura probabilistica
- N(d2) è una probabilità risk-neutral calcolata con la volatilità implicita di quello strike. Non è una previsione della probabilità nel mondo reale, che richiederebbe una visione sul rendimento atteso e sulla distribuzione vera.
- Il delta è spesso citato come probabilità approssimata di finire dentro il denaro; l'esempio mostra che le due differiscono (0,205 contro 0,190), e di più per scadenze lunghe e volatilità alta.
- Con uno smile, la probabilità implicita nell'insieme completo dei prezzi include una correzione per come la volatilità implicita cambia con lo strike; usare l'N(d2) di un singolo strike la ignora.
Dove compaiono altrove d1 e d2
Ogni greca di Black-Scholes si scrive con d1 e d2: gamma e vega attraverso φ(d1), vanna attraverso d2, charm attraverso d2/(2τ), vomma attraverso il prodotto d1·d2. Il modulo GEX di Senzoukria usa d2 direttamente quando deriva vanna e charm dalla gamma, dallo spot, dallo strike, dalla volatilità implicita e dal tempo alla scadenza di ogni gamba, e usa d1 nel delta e nella gamma di Black-Scholes che calcola localmente per il profilo di gamma e per lo skew a 25 delta.
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Domande frequenti
- Perché N(d1) non è la probabilità di esercizio?
- Perché d1 include un σ√τ in più che viene dal misurare gli esiti in unità del sottostante invece che in contanti. N(d1) è la probabilità di esercizio sotto quella misura basata sull'azione, che la rende il rapporto di copertura della call; la probabilità di esercizio sotto la misura in contanti è N(d2).
- Cosa mi dice un d2 negativo?
- Che lo strike sta sopra l'esito mediano risk-neutral del modello per una call, così la call ha più probabilità di scadere senza valore che il contrario, sotto il modello. Per un'opzione at the money d2 è leggermente negativo per il termine −σ²/2.