En esta página
De un vistazo
- Precio de la call
- C = S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)
- Precio de la put
- P = K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)
- Estilo de ejercicio
- Europeo (ejercicio solo al vencimiento)
La fórmula
Con spot S, strike K, tiempo hasta el vencimiento τ en años, tipo sin riesgo r, rentabilidad por dividendo continua q y volatilidad σ, el valor de la call es S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2) y el de la put K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1), donde d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ), d2 = d1 − σ√τ y N es la función de distribución normal estándar. Toda griega estándar es una derivada de estas expresiones.
Ejemplo: spot 100, strike 100, 30 días, σ = 20 %, r = q = 0. Entonces d1 = 0,0287, d2 = −0,0287, y tanto la call como la put valen 2,29. Con un tipo del 4 % la call vale más que la put, como exige la paridad put-call.
Supuestos y dónde los mercados se apartan de ellos
| Supuesto | Lo que muestran los mercados |
|---|---|
| Volatilidad constante entre strikes y vencimientos | La volatilidad implícita varía por strike (sonrisa, skew) y por vencimiento (estructura temporal) |
| Precios lognormales continuos, sin saltos | Los retornos de los índices tienen colas gruesas y gaps ocasionales, sobre todo en la apertura y con noticias |
| Cobertura continua y sin coste | La cobertura es discreta y paga spreads y comisiones |
| Tipo y rentabilidad por dividendo conocidos y constantes | Ambos cambian y hay que estimarlos para cada vencimiento |
| Ejercicio europeo | Muchas opciones sobre acciones y ETF, y algunas sobre futuros, son de estilo americano |
Por qué se sigue usando
Los profesionales usan Black-Scholes como un dispositivo de traducción y no como una creencia sobre los mercados. Cotizar una opción por la volatilidad que hace que la fórmula devuelva su precio, la volatilidad implícita, permite comparar en una sola escala contratos de strikes y vencimientos distintos. La sonrisa es entonces simplemente el registro de cuánto se aparta el mercado del supuesto de volatilidad constante del modelo. Las griegas calculadas con la fórmula en la volatilidad implícita propia de cada strike son la entrada estándar para cubrir y para agregados de exposición como la exposición gamma.
En Senzoukria
El módulo GEX usa las griegas publicadas por el proveedor de opciones cuando las hay, y nombra al proveedor como origen del modelo porque los proveedores no publican el suyo. Cuando la aplicación calcula las griegas por sí misma usa Black-Scholes y etiqueta el modelo como Black-Scholes (europeo) en el panel de supuestos de cálculo: en la vía de Databento resuelve la volatilidad implícita desde el punto medio de la cotización y deriva las griegas, y en la vía de ThetaData calcula el gamma a partir de la volatilidad implícita del proveedor. El gamma de Black-Scholes también reescala las exposiciones del perfil de gamma por precio, y la delta de Black-Scholes localiza los puntos de 25 delta cuando la aplicación calcula el skew por sí misma. Para las opciones americanas sobre ETF esto es una aproximación europea.
Relacionado
- d1 y d2 en Black-Scholes
- Cálculo de la volatilidad implícita
- Black-76
- Griegas de opciones
- Panel de supuestos GEX
En la misma sección
- Modelo binomial
- Estilo de ejercicio
- Modelo oculto de Markov
- Modificación de órdenes
- Footprint en mapa de calor
- MNQ
- Modos en perfil
- Mínimo del área de valor
Esta página en otros idiomas
Preguntas frecuentes
- ¿Black-Scholes está equivocado por culpa de la sonrisa de volatilidad?
- Es incompleto más que equivocado. La sonrisa muestra que ninguna volatilidad única valora todos los strikes, así que los mercados usan la fórmula con una volatilidad implícita distinta para cada strike y vencimiento. El modelo sigue siendo una correspondencia exacta entre precio y volatilidad implícita para las opciones europeas.
- ¿Black-Scholes puede valorar opciones de SPY?
- De forma aproximada. Las opciones de SPY son de estilo americano y SPY paga dividendos, así que el ejercicio anticipado puede tener valor, en particular para calls muy dentro del dinero antes de una fecha ex-dividendo y para puts muy dentro del dinero. Los modelos binomiales u otros modelos americanos lo gestionan; la diferencia es pequeña para la mayoría de contratos cercanos al dinero y de corto plazo.