Thêta (décroissance temporelle d'une option)

Définition et formule

Le thêta est le rythme auquel la valeur modèle d'une option change quand le temps calendaire avance, tout le reste inchangé. En Black-Scholes sans dividende, le thêta annuel d'un call vaut −S·φ(d1)·σ/(2√τ) − r·K·e^(−rτ)·N(d2), et celui d'un put −S·φ(d1)·σ/(2√τ) + r·K·e^(−rτ)·N(−d2), où τ est le temps jusqu'à l'échéance en années, φ la densité normale et N la normale cumulée. La division par 365 donne un chiffre par jour calendaire ; certaines salles divisent plutôt par 252 jours de bourse, deux plateformes peuvent donc coter des thêtas différents pour le même contrat.

Le premier terme, porté par la volatilité et par 1/√τ, domine pour les options de courte échéance. Le terme de taux est petit sur les maturités courtes et change de signe entre calls et puts.

Exemple chiffré : la décroissance s'accélère

Prenons un call à la monnaie, spot et strike à 100, volatilité implicite 20 %, taux et dividende nuls. Le tableau donne la valeur Black-Scholes et le thêta d'un jour à trois horizons. La dernière colonne est la part de la prime restante qu'un jour de temps retire.

Le thêta est le prix du gamma

Pour une option couverte en delta et à taux nuls, l'équation de Black-Scholes se réduit à θ = −½·σ²·S²·Γ. Dans l'exemple à 30 jours, le gamma vaut 0,0695, donc ½ × 0,20² × 100² × 0,0695 = 13,9 par an, ce qui est exactement le thêta annuel de −13,9. Celui qui détient l'option paie le thêta pour posséder la convexité ; celui qui l'a vendue l'encaisse et porte le risque de gamma. C'est pourquoi un livre de dealer décrit comme short gamma dans un modèle GEX est aussi, par construction, un livre qui encaisse la décroissance temporelle.

• Le thêta est une sortie de modèle : il suppose que la volatilité implicite reste constante pendant qu'un jour passe.
• Compter les week-ends est une convention. Le thêta en jours calendaires les facture, le thêta en jours de bourse non.
• Les options hors de la monnaie perdent de la valeur plus lentement en absolu, mais une part plus grande de leur prix.

Dans Senzoukria

L'aperçu GEX affiche une carte Décroissance thêta en dollars par jour. Elle somme open interest × thêta × 100 sur tous les calls et puts de la chaîne chargée, du côté du porteur, sans le signe dealer utilisé pour le gamma : elle se lit donc comme la décroissance quotidienne du livre d'open interest. Quand le fournisseur ne publie aucun thêta, ou qu'aucune jambe ne porte à la fois un thêta et un open interest, la carte indique que le champ est absent de la chaîne plutôt que d'afficher zéro. Dans Option Flow, survoler la cellule delta d'une transaction montre le gamma et le thêta de ce contrat d'après le dernier instantané de chaîne. Sur le chemin Databento, où l'application calcule elle-même les grecques, le thêta est exprimé par jour calendaire.