要点
- 看涨（Black-Scholes）
- ρ = K·τ·e^(−rτ)·N(d2)，对应利率变动 1.00
- 看跌（Black-Scholes）
- ρ = −K·τ·e^(−rτ)·N(−d2)
- 通常的报法
- 按每一个利率百分点，也就是把上式除以 100
利率为什么会推动期权价格
在一个无套利模型里，看涨期权的持有人把支付行权价的时点推迟到行权，而看跌期权的持有人把收到行权价的时点推迟了。
更高的利率抬高标的的远期价格、降低行权价的现值，这使看涨价值上升、看跌价值下降。Rho 度量的就是这个效应：在现价、波动率和时间固定的情况下，连续复利无风险利率变动一个点所带来的价值变化。
算例
一张六个月的平值看涨期权，现价和行权价都是 100，隐含波动率 20%，利率 4%，在 Black-Scholes 下约值 6.63。它的 rho 是每个利率点 0.259，所以利率变成 5% 而不是 4%，大约加 0.26。对应的看跌期权 rho 是 −0.231。
同一张看涨期权如果只剩 30 天，rho 只有 0.042：在一个月上，整整一个百分点的利率变动只把价格改变大约四美分（在一个 100 的标的上），远少于单独一个波动率点所带来的变化。这就是「短期限期权不看 rho」这条经验法则的数量依据。
| 合约 | 到期天数 | 每个利率点的 rho |
|---|---|---|
| 看涨 | 182 | +0.259 |
| 看跌 | 182 | −0.231 |
| 看涨 | 30 | +0.042 |
期货期权的行为不一样
对一张用 Black-76 定价的期货期权来说，期货价格是输入，而利率只对权利金做贴现。于是对看涨和看跌，rho 都等于 −τ 乘以期权价值。
对一张一周期限、约值 49.7 指数点的 E-mini 平值期权来说，这大约是每个利率点 −0.0095 点，可以忽略。但利率仍然通过期货和现货指数之间的基差对期货交易者要紧——融资成本的变化正是在那里显现出来的。
Rho 在哪里要紧、在哪里被假定
- 长期限期权（LEAPS）和深度实值期权携带最大的 rho。
- 看跌看涨平价、隐含远期和隐含波动率求解器都需要一个利率输入；一个错的利率会把看涨和看跌的隐含波动率朝相反方向推移。
- Senzoukria 不显示 rho。它自己的希腊字母计算——比如 vanna 和 charm 的敞口，以及 Databento 路径上本地算出来的 Black-Scholes 希腊字母——用的是固定的假定利率常数，而不是一个市场利率；而 vanna 与 charm 的快照会把所假定的利率和股息率记录下来，这样它们就不会被误当成测量值。
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常见问题
- 为什么 0DTE 和周度期权通常忽略 rho？
- 因为 rho 随到期时间缩放。在只剩几天的情况下，整整一个百分点的利率变动把价值改变几分之一美分到几美分，远低于买卖价差；而伽马和 theta 每个小时带来的变化都比它大得多。
- Rho 能解释看涨和看跌隐含波动率的差异吗？
- 它可以是其中一个来源。如果一个计算器所假定的利率或者股息，和市场价格里内含的那个不同，那么在这个模型里平价被违反了，而求解器会给同一行权价的看涨和看跌赋上不同的隐含波动率。核对隐含远期是发现这件事的常用办法。