要点
- 看涨价格
- C = e^(−rτ)·[F·N(d1) − K·N(d2)]
- 看跌价格
- P = e^(−rτ)·[K·N(−d2) − F·N(−d1)]
- d1
- [ln(F/K) + σ²τ/2] / (σ√τ)，d2 = d1 − σ√τ
从 Black-Scholes 到 Black-76
一个期货价格已经把标的的持有成本嵌在里面了：直到该期货到期之前的融资减去股息。Fischer Black 1976 年的模型把期货价格 F 当作输入，并在定价测度下把它视为漂移为零，所以利率和股息项从 d1 里消失了。收益按无风险利率折现，这正是为什么 e^(−rτ) 乘在整个方括号之前。当 F 等于 S·e^((r−q)τ) 并且期权和期货同时到期时，带股息的 Black-Scholes 和 Black-76 给出同一个价格。
一个算例
一只一周期的平价期权，标的期货在 5 000 成交，行权价 5 000，隐含波动率 18 %，利率 4 %：d1 = 0.0125，d2 = −0.0125，看涨期权值 49.7 个指数点。对一只 E-mini 标普 500 期权来说，它的标的是一张每个指数点 50 美元的期货合约，所以这大约是 2 484 美元。同一到期日、行权价 5 050 的看涨期权值 28.9 点。
对交易者有什么不同
- Delta 是用期货合约数来表达的，而不是用股数或指数单位，所以对冲很直接：一只期权上 0.5 的 Delta 就是半张期货。
- Rho 只是一个折现效应，等于负 τ 乘以期权价值，看涨看跌都一样。
- 看跌看涨平价变成 C − P = e^(−rτ)·(F − K)，这让期货价格可以从期权里反推出来。
- 美式期货期权需要格点法或者近似方法；Black-76 给的是欧式那一种。
在 Senzoukria 里
Senzoukria 的 GEX 与 Option Flow 模块，通过所配置的数据提供方读取美国挂牌的期权链，比如 SPY 或 QQQ，而不是 CME 的期货期权，所以 Black-76 并不是它们希腊字母背后的模型。在一条 ETF 期权链上算出来的价位可以画到 ES 或 NQ 图表上，应用会用期货图表的最后收盘价与 ETF 现价之间的比率来换算它们，并用来源标的给它们打上标签，所以一个换算过来的价位，永远不会被当作期货期权原生的价位呈现出来。
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常见问题
- Black-76 里为什么没有股息项？
- 因为期货价格已经反映了直到该期货到期之前的预期股息和融资。这个模型只需要期货价格的分布，而它假设这个分布在定价测度下是对数正态、漂移为零的。
- 给 ES 期权定价，该用 Black-Scholes 还是 Black-76？
- 用 Black-76，并把标的期货合约的价格作为输入。用现货指数配 Black-Scholes，需要正确的利率和股息假设才能复现出那个期货价格；直接用期货价格就绕开了这些估计。