要点
- 看涨价格
- C = S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)
- 看跌价格
- P = K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)
- 行权方式
- 欧式（只能在到期时行权）
公式
设现价为 S，行权价为 K，以年为单位的到期时间为 τ，无风险利率为 r，连续股息率为 q，波动率为 σ，则看涨期权的价值是 S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)，看跌期权的价值是 K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)，其中 d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ)，d2 = d1 − σ√τ，而 N 是标准正态分布函数。每一个标准希腊字母都是这些表达式的一个导数。
一个例子：现价 100，行权价 100，30 天，σ = 20 %，r = q = 0。于是 d1 = 0.0287，d2 = −0.0287，看涨和看跌都值 2.29。在利率为 4 % 时，看涨比看跌更贵，这正是看跌看涨平价所要求的。
假设，以及市场在哪里背离它们
| 假设 | 市场显示的情况 |
|---|---|
| 波动率在各行权价与各到期日上恒定 | 隐含波动率随行权价变化（微笑、偏斜），也随到期日变化（期限结构） |
| 价格连续、对数正态，没有跳跃 | 指数收益有厚尾，偶尔出现跳空，在开盘和有消息时尤为明显 |
| 对冲连续且无成本 | 对冲是离散的，而且要付价差和手续费 |
| 利率与股息率已知且恒定 | 两者都在变，必须为每个到期日分别估计 |
| 欧式行权 | 很多股票与 ETF 期权，以及部分期货期权，都是美式的 |
它为什么还在被用
实践者把 Black-Scholes 当作一台翻译机，而不是对市场的某种信念。用那个让公式返回期权市价的波动率，也就是隐含波动率，来给期权报价，使得不同行权价、不同到期日的合约能够放在同一个尺度上比较。微笑曲线于是不过是一份记录，记下市场离这个模型恒定波动率的假设有多远。在每个行权价各自的隐含波动率上由公式算出来的希腊字母，是对冲的标准输入，也是像 gamma 暴露这类敞口汇总的标准输入。
在 Senzoukria 里
GEX 模块在数据提供方公布希腊字母时就用对方的，并且把提供方的名字标为模型来源，因为提供方并不公布自己的模型。当应用自己计算希腊字母时，它用的是 Black-Scholes，并在 GEX 假设面板里把模型标注为 Black-Scholes（欧式）：在 Databento 这条路上，它从报价中点反解隐含波动率再推出希腊字母；在 ThetaData 这条路上，它从提供方的隐含波动率算出 gamma。Black-Scholes 的 gamma 也用来在「按价格的 gamma 轮廓」里重新缩放各项敞口，而当应用自己计算偏斜时，Black-Scholes 的 Delta 用来定位 25 Delta 的那两个点。对美式的 ETF 期权来说，这是一个欧式近似。
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常见问题
- 因为有波动率微笑，Black-Scholes 就是错的吗？
- 它是不完整，而不是错。微笑说明没有任何单一的波动率能给所有行权价定价，所以市场在用这个公式时，给每个行权价和每个到期日配一个不同的隐含波动率。对欧式期权来说，这个模型仍然是价格与隐含波动率之间一个准确的映射。
- Black-Scholes 能给 SPY 期权定价吗？
- 近似地可以。SPY 期权是美式的，而 SPY 会派股息，所以提前行权可能有价值，尤其是除息日之前深度实值的看涨期权，以及深度实值的看跌期权。二叉树或其他美式模型能处理这件事；对大多数近价、短期的合约来说，这个差别很小。