要点
- 上下因子（CRR）
- u = e^(σ√Δt)，d = 1/u
- 风险中性概率
- p = (e^((r−q)Δt) − d)/(u − d)
- 主要用途
- 美式行权、离散股息
这棵树怎么运作
把期权的存续期切成 n 个长度为 Δt 的步。在 Cox-Ross-Rubinstein 的版本里，价格在每一步要么乘上 u = e^(σ√Δt)，要么乘上 d = 1/u。到期时，每一个末端节点上期权的收益都是已知的。往回走，每个节点的价值是它两个子节点风险中性平均值的折现，也就是 e^(−rΔt)·[p·V_up + (1 − p)·V_down]。对一只美式期权来说，节点价值取这个继续持有价值和立即行权价值之中较大的那个。
算例：两步
现价 100，行权价 100 的看跌期权，六个月，σ = 30 %，r = 5 %，两步各三个月。于是 u = 1.1618，d = 0.8607，p = 0.5043。末端价格是 134.99、100 和 74.08，对应的看跌收益是 0、0 和 25.92。往回一步，86.07 这个下行节点的继续持有价值是 12.69，而立即行权价值是 13.93，所以一个美式持有者会在那里行权。一路推回来，在这棵很粗的树上，美式看跌是 6.82，而欧式是 6.21。
| 步数 | 美式看跌 | 欧式看跌 |
|---|---|---|
| 2 | 6.82 | 6.21 |
| 500 | 7.39 | 7.16 |
| Black-Scholes（欧式） | — | 7.17 |
长处与限制
- 能处理提前行权、离散股息，以及闭式公式处理不了的一部分路径特征。
- 对欧式期权来说，随着步数增加它会收敛到 Black-Scholes，并且在相邻的步数之间带着小幅的来回摆动。
- 希腊字母是从相邻节点读出来的，这让粗树上的 gamma 很有噪声。
- 除非做扩展，它仍然假设整棵树上只有一个恒定的波动率；它本身并不解释微笑曲线。
对指数交易者的意义与在 Senzoukria 里
SPX 期权是欧式的，所以闭式公式适用；SPY 和 QQQ 期权是美式的，而一棵树或者某种等效方法才能抓住它们的提前行权溢价。对那些主导 gamma 暴露的近价、短期合约来说，欧式与美式 gamma 之间的差别通常很小。Senzoukria 不跑二叉树模型：它在本地计算的希腊字母用的是闭式 Black-Scholes，而来自数据提供方的希腊字母出自对方自己的模型，GEX 假设面板会按提供方的名字标出模型来源，而不是去猜。
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常见问题
- 美式期权什么时候提前行权才值得？
- 对一只不付股息标的上的看涨期权来说，几乎从来不值得，因为把这只看涨卖掉能保住它的时间价值。对深度实值的看涨期权，在除息日之前它可能是最优的；对深度实值的看跌期权，当行权价上赚到的利息超过剩余时间价值时，它也可能是最优的。
- 多少步才够？
- 这取决于所需的精度和到期时间。对月度期权来说，价格常常在几百步之内就稳定到分；希腊字母则需要更当心。把相邻两个步数的结果取平均，可以减小那种来回摆动。