Биномиальная модель оценки опционов

Как работает дерево

Разбейте жизнь опциона на n шагов длиной Δt. В версии Кокса-Росса-Рубинштейна цена на каждом шаге идёт вверх на u = e^(σ√Δt) или вниз на d = 1/u. На экспирации выплата опциона известна в каждом конечном узле. Идя обратно, значение каждого узла равно дисконтированному риск-нейтральному среднему двух его потомков: e^(−rΔt)·[p·V_вверх + (1 − p)·V_вниз]. Для американского опциона значение узла — большее из этой стоимости продолжения и стоимости немедленного исполнения.

Разобранный пример: два шага

Спот 100, пут со страйком 100, шесть месяцев, σ = 30 %, r = 5 %, два шага по три месяца. Тогда u = 1,1618, d = 0,8607 и p = 0,5043. Конечные цены — 134,99, 100 и 74,08, что даёт выплаты пута 0, 0 и 25,92. Шагом раньше у нижнего узла на 86,07 стоимость продолжения равна 12,69, а стоимость немедленного исполнения 13,93, поэтому американский держатель там исполняет. Откат назад даёт 6,82 для американского пута против 6,21 для европейского на этом грубом дереве.

Сильные стороны и пределы

• Справляется с досрочным исполнением, дискретными дивидендами и некоторыми траекторными свойствами, которых закрытые формулы не берут.
• Для европейских опционов сходится к Блэку-Шоулзу по мере роста числа шагов, с небольшим колебанием от одного числа шагов к другому.
• Греки считываются из соседних узлов, из-за чего гамма на грубых деревьях шумит.
• Без расширений она по-прежнему предполагает одну постоянную волатильность по дереву и сама по себе улыбку не объясняет.

Значение для индексных трейдеров и для Senzoukria

Опционы SPX европейские, поэтому закрытая формула применима; опционы SPY и QQQ американские, и дерево или равнозначный метод схватывает их премию досрочного исполнения. Для контрактов вблизи денег и с коротким сроком, которые доминируют в экспозиции по гамме, разница между европейской и американской гаммой обычно мала. Senzoukria биномиальную модель не запускает: её локально вычисленные греки используют закрытую формулу Блэка-Шоулза, а греки поставщика берутся из его собственной модели, которую панель допущений расчёта называет по имени поставщика, а не угадывает.