На этой странице
Кратко
- Цена колла
- C = S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)
- Цена пута
- P = K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)
- Стиль исполнения
- Европейский (исполнение только на экспирации)
Формула
При споте S, страйке K, времени до экспирации τ в годах, безрисковой ставке r, непрерывной дивидендной доходности q и волатильности σ стоимость колла равна S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2), а стоимость пута — K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1), где d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ), d2 = d1 − σ√τ, а N — функция стандартного нормального распределения. Каждый стандартный грек есть производная этих выражений.
Пример: спот 100, страйк 100, 30 дней, σ = 20 %, r = q = 0. Тогда d1 = 0,0287, d2 = −0,0287, и колл и пут стоят по 2,29. При ставке 4 % колл стоит дороже пута, как и требует пут-колл паритет.
Допущения и где рынки от них отходят
| Допущение | Что показывают рынки |
|---|---|
| Постоянная волатильность по страйкам и экспирациям | Подразумеваемая волатильность меняется по страйку (улыбка, skew) и по экспирации (временная структура) |
| Непрерывные логнормальные цены, без скачков | У доходностей индексов тяжёлые хвосты и случающиеся разрывы, особенно на открытии и на новостях |
| Непрерывное и бесплатное хеджирование | Хеджирование дискретно и платит спреды и комиссии |
| Известные постоянные ставка и дивидендная доходность | И то и другое меняется и требует оценки для каждой экспирации |
| Европейское исполнение | Многие опционы на акции и ETF, а также часть опционов на фьючерсы, американского стиля |
Почему ею всё ещё пользуются
Практики применяют Блэка-Шоулза как средство перевода, а не как убеждение о рынках. Котирование опциона через волатильность, при которой формула возвращает его цену, то есть через подразумеваемую волатильность, позволяет сравнивать контракты с разными страйками и сроками по одной шкале. Улыбка тогда — просто запись того, насколько рынок отходит от допущения модели о постоянной волатильности. Греки, посчитанные по формуле при собственной подразумеваемой волатильности каждого страйка, служат стандартным входом для хеджирования и для агрегатов экспозиции вроде экспозиции по гамме.
В Senzoukria
Модуль GEX использует греки, публикуемые поставщиком опционов, когда они есть, и называет поставщика источником модели, поскольку поставщики свою модель не публикуют. Когда приложение считает греки само, оно использует Блэка-Шоулза и помечает модель как «Блэк-Шоулз (европейский)» в панели допущений расчёта: на пути Databento оно решает подразумеваемую волатильность из середины котировки и выводит греки, а на пути ThetaData считает гамму из подразумеваемой волатильности поставщика. Гамма Блэка-Шоулза к тому же пересчитывает экспозиции в профиле гаммы по цене, а дельта Блэка-Шоулза находит точки 25 дельты, когда приложение считает skew само. Для опционов на ETF американского стиля это европейское приближение.
См. также
В этом же разделе
- Биномиальная модель
- Пут-колл паритет
- Стиль исполнения
- Мост
- На деньгах (ATM)
- Множитель контракта
- Накопленная глубина
- Многоногая сделка
Эта страница на других языках
Частые вопросы
- Блэк-Шоулз ошибочен из-за улыбки волатильности?
- Он скорее неполон, чем ошибочен. Улыбка показывает, что ни одна единая волатильность не оценивает все страйки, поэтому рынки применяют формулу с отдельной подразумеваемой волатильностью для каждого страйка и каждой экспирации. Моделью остаётся точное отображение между ценой и подразумеваемой волатильностью для европейских опционов.
- Можно ли оценивать опционы SPY по Блэку-Шоулзу?
- Приближённо. Опционы SPY американского стиля, а SPY платит дивиденды, поэтому досрочное исполнение может иметь стоимость — особенно для коллов глубоко в деньгах перед датой отсечки и для путов глубоко в деньгах. Биномиальные и иные американские модели это учитывают; для большинства коротких контрактов вблизи денег разница мала.