d1 и d2

Определения

Обе величины измеряют, насколько страйк удалён от форвардной цены в единицах стандартного отклонения за срок жизни опциона. Числитель d2, ln(S/K) + (r − q − σ²/2)·τ, — это ожидаемое логарифмическое расстояние между конечной ценой и страйком в риск-нейтральной мере модели; деление на σ√τ его стандартизует. Величина d1 — это d2, сдвинутая вверх на σ√τ. Сдвиг берётся из взвешивания исходов самой конечной ценой, и поэтому N(d1) связана с дельтой, а не с вероятностью исполнения.

Расчёт на примере

Спот 100, страйк 105, 30 дней (τ = 0,0822), σ = 20 %, r = q = 0. Тогда ln(100/105) = −0,0488 и σ√τ = 0,0573. Получаем d1 = (−0,0488 + 0,02 × 0,0822)/0,0573 = −0,822 и d2 = −0,822 − 0,057 = −0,880. Значение N(d1) = 0,205 — это дельта колла, а N(d2) = 0,190 — модельная вероятность того, что колл закончит выше 105. Колл стоит 100 × 0,205 − 105 × 0,190 = 0,64.

Границы вероятностного чтения

• N(d2) — это риск-нейтральная вероятность, вычисленная с подразумеваемой волатильностью этого страйка. Это не прогноз реальной вероятности, для которого понадобился бы взгляд на ожидаемую доходность и на истинное распределение.
• Дельту часто приводят как грубую вероятность закончить в деньгах; пример показывает, что эти две величины различаются (0,205 против 0,190), и тем сильнее, чем длиннее срок и выше волатильность.
• При наличии улыбки вероятность, подразумеваемая всем набором цен, включает поправку на то, как подразумеваемая волатильность меняется со страйком; взятая по одному страйку N(d2) её игнорирует.

Где ещё появляются d1 и d2

Каждый грек Блэка-Шоулза записывается через d1 и d2: гамма и вега через φ(d1), vanna через d2, charm через d2/(2τ), vomma через произведение d1·d2. Модуль GEX в Senzoukria использует d2 напрямую, когда выводит vanna и charm из гаммы, спота, страйка, подразумеваемой волатильности и времени до экспирации каждой ноги, и использует d1 в дельте и гамме Блэка-Шоулза, которые считает локально для профиля гаммы и перекоса 25 дельта.