d1 与 d2

定义

这两个量都在度量：以期权存续期内的标准差为单位，行权价离远期价格有多远。d2 的分子 ln(S/K) + (r − q − σ²/2)·τ，是在模型的风险中性测度之下，终值价格与行权价之间预期的对数距离；除以 σ√τ 把它标准化。d1 就是 d2 向上平移了 σ√τ。这个平移来自按终值价格本身给各种结果加权，而这正是为什么 N(d1) 关联的是 Delta，而不是行权的概率。

一个算例

现价 100，行权价 105，30 天（τ = 0.0822），σ = 20 %，r = q = 0。于是 ln(100/105) = −0.0488，而 σ√τ = 0.0573。d1 = (−0.0488 + 0.02 × 0.0822)/0.0573 = −0.822，d2 = −0.822 − 0.057 = −0.880。N(d1) = 0.205，这就是这张看涨的 Delta，而 N(d2) = 0.190，是模型给出的、这张看涨最终收在 105 之上的概率。这张看涨值 100 × 0.205 − 105 × 0.190 = 0.64。

那种概率读法的局限

• N(d2) 是一个用该行权价的隐含波动率算出来的风险中性概率。它不是对真实世界概率的预测，后者需要一个关于预期收益、以及关于真实分布的观点。
• Delta 常被当作最终落在实值的概率的一个粗略代理；上面那个例子显示两者并不相同（0.205 对 0.190），而在长期限和高波动率下差得更多。
• 有了微笑曲线之后，由全套价格隐含出来的概率，包含一个关于隐含波动率怎么随行权价变化的修正；只用单个行权价的 N(d2) 会忽略它。

d1 与 d2 还出现在哪里

每一个 Black-Scholes 希腊字母都是用 d1 和 d2 写出来的：gamma 和 vega 通过 φ(d1)，vanna 通过 d2，charm 通过 d2/(2τ)，而 vomma 通过乘积 d1·d2。Senzoukria 的 GEX 模块在由每条腿的 gamma、现价、行权价、隐含波动率和到期时间推导 vanna 与 charm 时直接用到 d2，而在它为 gamma 轮廓和 25 Delta 偏斜在本地计算的 Black-Scholes Delta 与 gamma 里用到 d1。