النموذج ذو الحدين لتسعير الخيارات

كيف تعمل الشجرة

اقسم عمر الخيار إلى n خطوة طول كل منها Δt. وفي صيغة Cox-Ross-Rubinstein يتحرك السعر صعودًا بمعامل u = e^(σ√Δt) أو هبوطًا بمعامل d = 1/u في كل خطوة.

وعند الاستحقاق يكون عائد الخيار معروفًا في كل عقدة طرفية. وبالعمل رجوعًا، تكون قيمة كل عقدة هي المتوسط المحيَّد للخطر لابنتيها مخصومًا، أي e^(−rΔt)·[p·V_up + (1 − p)·V_down]. وللخيار الأمريكي تكون قيمة العقدة الأكبر من قيمة الاستمرار هذه وقيمة الممارسة الفورية.

مثال محسوب: خطوتان

سعر فوري 100، وخيار بيع بسعر تنفيذ 100، وستة أشهر، وσ = 30 بالمئة، وr = 5 بالمئة، وخطوتان من ثلاثة أشهر. فيكون u = 1.1618، وd = 0.8607، وp = 0.5043. والأسعار الطرفية 134.99 و100 و74.08، فتعطي عوائد بيع قدرها 0 و0 و25.92.

وبخطوة واحدة رجوعًا، تكون للعقدة الهابطة عند 86.07 قيمة استمرار 12.69 لكن قيمة ممارسة فورية 13.93، فيمارس الحامل الأمريكي هناك. والرجوع إلى البداية يعطي 6.82 لخيار البيع الأمريكي مقابل 6.21 للأوروبي على هذه الشجرة الخشنة.

القوة والحدود

• يتعامل مع الممارسة المبكرة والتوزيعات المنفصلة وبعض سمات المسار التي لا تستطيعها الصيغ المغلقة.
• يتقارب نحو بلاك-شولز للخيارات الأوروبية كلما زادت الخطوات، مع تذبذب صغير من عدد خطوات إلى التالي.
• المؤشرات اليونانية تُقرأ من العقد المجاورة، وهذا يجعل غاما مشوشة على الشجرات الخشنة.
• ويبقى يفترض تقلّبًا واحدًا ثابتًا على امتداد الشجرة إن لم يُوسَّع؛ فهو لا يفسّر الابتسامة من تلقاء نفسه.

صلته بمتداولي المؤشرات وداخل Senzoukria

خيارات SPX أوروبية، فتنطبق عليها الصيغة المغلقة؛ أما خيارات SPY وQQQ فأمريكية، وتحتاج شجرة أو طريقة مكافئة لاحتساب علاوة الممارسة المبكرة. وللعقود القريبة من المال والقصيرة الأجل، وهي المسيطرة على تعرّض غاما، يكون الفرق بين غاما الأوروبية والأمريكية صغيرًا عادةً.

ولا يشغّل Senzoukria نموذجًا ذا حدين: فمؤشراته اليونانية المحسوبة محليًا تستعمل بلاك-شولز المغلقة، والمؤشرات القادمة من المزوّد تأتي من نموذجه الخاص، وهو ما تسميه لوحة افتراضات الحساب باسم المزوّد لا بالتخمين.