نموذج بلاك-شولز

الصيغة

بسعر فوري S، وسعر تنفيذ K، وزمن إلى الاستحقاق τ بالسنوات، وسعر فائدة خالٍ من الخطر r، وعائد توزيعات متصل q، وتقلّب σ، تكون قيمة خيار الشراء S·e^(−qτ)·N(d1) − K·e^(−rτ)·N(d2)، وقيمة خيار البيع K·e^(−rτ)·N(−d2) − S·e^(−qτ)·N(−d1)، حيث d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·τ]/(σ√τ)، وd2 = d1 − σ√τ، وN دالة التوزيع الطبيعي المعياري. وكل مؤشر يوناني قياسي هو مشتقة لهذه التعابير.

مثال: سعر فوري 100، وسعر تنفيذ 100، و30 يومًا، وσ = 20 بالمئة، وr = q = 0. فيكون d1 = 0.0287، وd2 = −0.0287، وتساوي قيمة الشراء والبيع كلتاهما 2.29. وبسعر فائدة 4 بالمئة تصبح قيمة الشراء أعلى من البيع، كما يقتضي تعادل البوت والكول.

الافتراضات وحيث تبتعد الأسواق عنها

لماذا ما زال مستعملًا

يستعمل الممارسون بلاك-شولز أداةَ ترجمة لا عقيدةً عن الأسواق. فاقتباس خيار بالتقلّب الذي يجعل الصيغة تعيد سعره، أي التقلّب الضمني، يتيح مقارنة عقود مختلفة الأسعار والآجال على مقياس واحد.

وتصبح الابتسامة إذن مجرد سجل لمدى ابتعاد السوق عن افتراض التقلّب الثابت في النموذج. والمؤشرات اليونانية المحسوبة من الصيغة عند التقلّب الضمني الخاص بكل سعر تنفيذ هي المدخل القياسي للتحوّط ولمجاميع التعرّض كتعرّض غاما.

داخل Senzoukria

تستعمل وحدة GEX المؤشرات اليونانية التي ينشرها مزوّد الخيارات إن وُجدت، وتسمّي المزوّد أصلًا للنموذج لأن المزوّدين لا ينشرون نموذجهم. وحين يحسب التطبيق المؤشرات بنفسه فهو يستعمل بلاك-شولز ويسمّي النموذج Black-Scholes (European) في لوحة افتراضات الحساب: فعلى مسار Databento يحلّ التقلّب الضمني من منتصف الاقتباس ثم يستنبط المؤشرات، وعلى مسار ThetaData يحسب غاما من التقلّب الضمني للمزوّد.

وغاما بلاك-شولز تعيد كذلك قياس التعرّضات في ملف غاما حسب السعر، ودلتا بلاك-شولز تحدد نقطتي 25 دلتا حين يحسب التطبيق الانحراف بنفسه. ولخيارات صناديق المؤشرات الأمريكية الممارسة يبقى هذا تقريبًا أوروبيًا.