Тета (Theta)

Определение и формула

Тета — это скорость, с которой модельная стоимость опциона меняется по мере движения календарного времени вперёд при всём прочем неизменном. По Black-Scholes без дивидендов годовая тета колла равна −S·φ(d1)·σ/(2√τ) − r·K·e^(−rτ)·N(d2), а пута равна −S·φ(d1)·σ/(2√τ) + r·K·e^(−rτ)·N(−d2), где τ — срок до экспирации в годах, φ — нормальная плотность, N — нормальная функция распределения. Деление на 365 даёт значение за календарный день; часть десков делит вместо этого на 252 торговых дня, поэтому две платформы способны показать разную тету для одного контракта.

Первое слагаемое, движимое волатильностью и 1/√τ, доминирует у коротких по сроку опционов. Слагаемое со ставкой мало для коротких сроков и меняет знак между коллами и путами.

Разбор примера: распад ускоряется

Возьмите колл на деньгах со спотом и страйком 100, подразумеваемой волатильностью 20 %, нулевыми ставкой и дивидендом. Таблица показывает стоимость по Black-Scholes и тету за один день на трёх горизонтах. Последняя колонка — это доля остающейся премии, которую убирает один день времени.

Тета является ценой гаммы

Для дельта-хеджированного опциона при нулевых ставках уравнение Black-Scholes сводится к θ = −½·σ²·S²·Γ. В примере на 30 дней гамма равна 0,0695, поэтому ½ × 0,20² × 100² × 0,0695 = 13,9 в год, и это ровно годовая тета −13,9. Держатель длинного опциона платит тету за владение выпуклостью; держатель короткого её собирает и несёт риск гаммы. Поэтому книга дилера, описанная в модели GEX как короткая по гамме, по построению является и книгой, собирающей распад времени.

• Тета является выводом модели: она предполагает, что подразумеваемая волатильность не меняется за прошедший день.
• Считаются ли выходные — вопрос соглашения. Тета за календарный день их берёт, тета за торговый день нет.
• Опционы вне денег теряют стоимость в абсолютном выражении медленнее, но большую долю своей цены.

В Senzoukria

Обзор GEX показывает плитку Theta Decay в долларах за день. Она суммирует открытый интерес × тету × 100 по каждому коллу и путу загруженной цепочки со стороны держателя, без знака дилера, применяемого к гамме, поэтому читается как дневной распад книги открытого интереса. Когда поставщик тету не публикует либо ни одна нога не несёт одновременно тету и открытый интерес, плитка сообщает, что поля в цепочке нет, вместо показа нуля. В Option Flow наведение на ячейку дельты принта показывает гамму и тету этого контракта из последнего снимка цепочки. На пути Databento, где приложение считает греки само, тета выражена за календарный день.